Пособие
по проектированию
деревянных
конструкций

(к СНиП II-25-80)

Утверждено
приказом по ЦНИИСК им. Кучеренко
от 28 ноября 1983 г. № 372/л

Москва Стройиздат 1986

Рекомендовано к изданию решением секции деревянных конструкций Научно-технического совета ЦНИИСК им. Кучеренко.

Пособие по проектированию деревянных конструкций (к СНиП II-25-80) / ЦНИИСК им. Кучеренко. - М.: Стройиздат, 1986.

Содержит обоснования и разъяснения основных положений норм проектирования деревянных конструкций, дополнительные рекомендации и вспомогательные материалы к ним, сопровождаемые примерами проектирования.

Для инженерно-технических работников проектных и строительных организаций, преподавателей и студентов строительных вузов.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее Пособие разработано к СНиП II-25-80. В нем даны необходимые разъяснения и обоснования отдельных положений и указаний по расчету деревянных конструкций, приведены рекомендации по проектированию, не получившие отражения в нормах. В частности, это касается особенностей расчета сжато-изгибаемых элементов, связей жесткости, новых типов соединений, технико-экономической оценки конструктивных решений и др.

Пособие охватывает конструкции из цельной и клееной древесины, иллюстрируя положения СНиП II-25-80 на конкретных примерах конструирования и расчета отдельных типов деревянных конструкций. В качестве приложения к пособию, даны некоторые вспомогательные графики, таблицы и другие справочные материалы, необходимые для проектирования.

Пособие разработано отделом деревянных конструкций ЦНИИСК им. Кучеренко Госстроя СССР (канд. техн. наук A.К. Шенгелия - ответственный редактор, кандидаты техн. наук B.И. Аганин, А.Я. Дривинг, И.М. Зотова, Е.М. Знаменский, д-р техн. наук Л.М. Ковальчук, кандидаты техн. наук И.М. Линьков, A.Ф. Михайлов, инженеры А.И. Мезенцев, Р.В. Ннкулихина, кандидаты техн. наук И.Г. Овчинникова, С.Б. Турковский, О.И. Шипков, д-р техн. наук А.С. Фрейдин) при участии ЦНИИпромзданий (канд. техн. наук В.С. Шейнкман), ЦНИИЭП им. Мезенцева (канд. техн. наук С.М. Жак, инж. М.Ю. Заполь, д-р техн. наук B.И. Травуш), ЦНИИЭПсельстроя (кандидаты техн. наук В.П. Деев, Б.А. Степанов, В.И. Фролов), ВНИИдрева (канд. техн. наук Б.Е. Кондратенко), Московского инженерно-строительного института им. В.В Куйбышева (кандидаты техн. наук Н.М. Кузнецова, В.С. Сарычев), Ленинградского инженерно-строительного института (кандидаты техн. наук Е.И. Светозарова, Е.Н. Серов), Брестского инженерно-строительного института (канд. техн. наук Р.Б. Орлович), Пермского политехнического института (канд. техн. наук А.В. Калугин), Курского политехнического института (канд. техн. наук А.С. Прокофьев), Кировского политехнического института (канд. техн. наук Ю.В. Пискунов), Уральского политехнического института им. С.М. Кирова (инж. С.П. Тамакулов).

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1. Деревянные конструкции следует применять в зданиях и сооружениях сельского, гражданского и промышленного строительства, когда это технически целесообразно и экономически обосновано. При проектировании деревянных конструкций необходимо учитывать: условия эксплуатации, капитальность, степень ответственности и огнестойкость строительного объекта, а также возможности сырьевой и производственной базы, обеспечивающие изготовление конструкций.

В сельском строительстве деревянные конструкции могут применяться в производственных и складских одноэтажных зданиях. В гражданском строительстве целесообразно применение деревянных конструкций в покрытиях залов общественных зданий, выставочных павильонов, в малоэтажном домостроении. В промышленном строительстве деревянные конструкции могут применяться в одноэтажных отапливаемых и неотапливаемых зданиях IV и V классов огнестойкости, а также II и III классов огнестойкости со смешанным каркасом.

В покрытиях по стропильным конструкциям возможна подвеска подъемно-транспортного оборудования грузоподъемностью не выше 32 кН.

1.2. Для всех видов зданий общественного и производственного назначения рекомендуется принимать:

шаг деревянных стропильных балок и ферм, рам и арок 3 и 6 м;

панели и плиты ограждающих конструкций шириной 1,2 и 1,5 м, длиной 3 и 6 м.

Пролеты и шаг несущих деревянных конструкций назначаются с учетом технологических требований, объемно-планировочных решений зданий и сооружений в соответствии с действующими стандартами и нормами проектирования по видам строительства.

1.3. Рекомендуемые схемы плоскостных несущих деревянных конструкций с их основными характеристиками приведены в табл. 1.

1.4. Выбор конструктивной схемы и общая компоновка здания должны обеспечивать необходимую долговечность конструкций при наименьших приведенных затратах. Особое внимание следует уделять обеспечению простого и надежного отвода воды с покрытия, отдавая предпочтение бесфонарным решениям покрытий с наружным водоотводом без перепадов высот парапетов и надстроек, способствующих образованию снеговых мешков, протечек и очагов поражения гнилью. Покрытия с деревянными конструкциями должны быть обязательно вентилируемыми, доступными для осмотра и производства ремонтно-профилактических работ; не должны образовываться мостики холода, особенно в карнизных и коньковых узлах, в швах и сопряжениях несущих и ограждающих конструкций.

1.5. Необходима тесная увязка строительной и технологической частей проекта с целью исключения возможности перегрева и увлажнения конструкций, а также не предусмотренного проектом вибрационного и динамического воздействия на них. К конструкциям не должны подвешиваться или располагаться вблизи них неизолированные горячие трубопроводы, калориферы воздушного отопления.

1.6. При проектировании деревянных конструкций особое внимание должно уделяться условиям эксплуатации по характеристикам температурно-влажностных воздействий, согласно таблице СНиП II-25-80; по степени химической и биологической агрессии, согласно СНиП 2.03.11-85 и СНиП III-19-76. Следует избегать применения деревянных клееных конструкций в зданиях, по условиям эксплуатации которых равновесная влажность древесины оказывается ниже заданной при изготовлении.

1.7. При проектировании конструкций и особенно их узловых соединений следует предусматривать проверку на транспортные и монтажные нагрузки, на чертежах указывать породу, сорт и влажность древесины, места и способы строповки, необходимость (если надо) местного усиления при перевозке, кантовке и подъеме.

1.8. Способы транспортировки, складирования, укрупнительной сборки и монтажа, влияющие на конструктивное решение, защиты деревянных конструкций от коррозии и огня должны быть заранее определены и представлены в проекте производства работ.

1.9. Большое внимание при проектировании следует уделять пространственной жесткости и устойчивости конструкций, обеспечиваемых устройством и постановкой соответствующих связей жесткости.

1.10. Технико-экономическая оценка эффективности конструктивных решений зданий и сооружений с деревянными конструкциями должна производиться по приведенным затратам согласно разд. 7.

Таблица 1

2. МАТЕРИАЛЫ

Номенклатура

2.1. В несущих и ограждающих деревянных конструкциях применяются: круглый лес, используемый в целом виде; пиломатериалы и клееные заготовки из них; многослойные клееные заготовки из фрезерованных пиломатериалов; листовая многослойная фанера; фанерные трубы; древесные плиты; водостойкие клеи; влагозащитные лаки и составы; антисептики и антипирены; стальной прокат, арматура и др.

Лесоматериалы

2.2. Круглые лесоматериалы следует использовать преимущественно для конструкций, изготавливаемых в построечных и полевых условиях (например, сельскохозяйственные здания с балочно-стоечным каркасом, опоры ЛЭП и др.).

Пиломатериалы являются основными конструкционными лесоматериалами для конструкций из цельной и клееной древесины.

Для многослойных клееных заготовок из древесины сосны и ели наиболее целесообразно применять пиломатериалы толщиной 40 и 25 мм, причем тонкие пиломатериалы следует использовать для изготовления гнутоклееных элементов с ограниченным радиусом кривизны и растянутых элементов; пиломатериалы из осины и лиственницы можно использовать толщиной 25 мм с устройством в них продольных компенсационных прорезей, располагаемых друг от друга на расстоянии 40 мм и не менее чем на 10 - 15 мм от кромки доски. Глубина прорезей должна быть равной 1/2 толщины слоя, ширина 2 - 3 мм.

2.3. Рекомендуемый сортамент приведен в табл. 2.

2.4. Однослойные заготовки из склеенных на зубчатый шип или на зубчатый шип и по кромке маломерных пиломатериалов, предназначенные для использования в несущих элементах деревянных конструкций, должны удовлетворять следующим требованиям: влажность склеиваемых на зубчатый шип пиломатериалов допускается не выше 15 %, размеры зубчатого шипа должны быть не менее чем у типа I-32; клеи только на резорциновой основе (ФР-12 и ФРФ-50); временное сопротивление изгибу при нагружении пласти для клееных заготовок, соответствующих пиломатериалам второго сорта, - не ниже 27 МПа и третьего сорта - не ниже 20 МПа.

Таблица 2

Допустимое количество и место расположения стыков на зубчатый шип по длине несущих элементов из клееных заготовок зависит: от характера их работы, степени ответственности, особенностей конструктивного решения и должно регламентироваться техническими условиями на изготовление с соответствующим обоснованием.

Не допускается использование склеенных на зубчатый шип заготовок из короткомерных пиломатериалов для дощатых балок междуэтажных перекрытий и в растянутых поясах дощатых стропильных ферм.

2.5. В некоторых случаях, особо оговариваемых техническими условиями, при изготовлении деревянных конструкций (например, клеефанерных) может использоваться древесина, модифицированная полимерами и другими составами.

Фанера листовая. Фанерные трубы

2.6. Фанера относится к слоистым древесным материалам с однонаправленной и перекрестной структурой. В первом случае достигается значительная прочность, но сохраняется высокая степень анизотропии. Во втором случае заметно снижается анизотропия и прочность в двух главных направлениях. Для многослойной листовой фанеры показатели прочности и упругости отличаются по главным осям анизотропии при растяжении, сжатии, изгибе только в 1,5 - 3 раза, а не в 10 - 40 раз, как для древесины в ее натуральном виде.

В ограждающих и несущих конструкциях допускается применение фанеры только на водостойких клеях толщиной не менее 6 мм.

Размеры листовой фанеры приведены в табл. 3.

Таблица 3

2.7. В качестве элементов деревянных конструкций допускается применение фанерных труб марок Ф-1 и Ф-2, сортамент и размеры которых указаны в табл. 4.

Таблица 4

Древесные плиты

2.8. К плитным материалам на основе древесины относятся:

а) древесно-волокнистые плиты сухого способа производства (ДВПс) на фенольных связующих марок Тс-400, Тс-450 (ТУ 13-444-79);

б) древесно-стружечные плиты на карбамидных (ДСПк) и на фенольных связующих (ДСПф) марок П-1 и П-2 (ГОСТ 10632-77 с изм.);

в) древесно-стружечные плиты на каустическом магнезите МДП (ТУ 13-519-79);

г) цементно-стружечные плиты на портландцементе ЦСП.

Технические характеристики древесных плит приведены в табл. 5.

Таблица 5

2.9. Древесные плиты рекомендуется применять в качестве обшивок в конструкциях панелей стен, плит перекрытий и покрытий с учетом условий эксплуатации.

Клеи

2.10. Синтетические клеи для изготовления элементов клееных деревянных конструкций делятся на группы, учитывающие назначение клеев, их свойства; рекомендуемые области применения указаны в табл. 6.

2.11. Для склеивания древесины и древесины с фанерой, древесно-волокнистыми и древесно-стружечными плитами должны применяться клеи I - IV групп в зависимости от температурно-влажностных условий эксплуатации, руководствуясь табл. 7.

При возникновении значительных температурно-влажностных напряжений следует применять клей ФРФ-50М (V группа), обладающий повышенной податливостью. Для металлических стержней, вклеиваемых в древесину, должны применяться модифицированные клеи I группы или клеи V группы с учетом условий эксплуатации.

2.12. Состав клеев, технология их приготовления и применение должны отвечать требованиям соответствующих технических условий.

Таблица 6

Таблица 7

3. РАСЧЕТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕРИАЛОВ

Нормирование расчетных сопротивлений древесины и фанеры

3.1. Основными нормируемыми характеристиками прочности конструкционных строительных материалов является нормативное и расчетное сопротивление, которое определяется на основании данных стандартных испытаний с учетом статистической изменчивости показателей прочности и разной степени обеспеченности (доверительной вероятности) по минимуму. Для нормативного сопротивления R^н предписывается обеспеченность не ниже 0,95, для расчетного сопротивления R пока не нормирована и колеблется в пределах 0,99 - 0,999.

3.2. В СНиП II-25-80 нормативные и расчетные сопротивления древесины и фанеры приняты с обеспеченностью по минимуму соответственно 0,95 и 0,99 при нормальном распределении.

3.3. Особенности структурно-механических свойств древесины и отличие действительных условий и характера ее работы от условий при стандартных испытаниях учитываются введением коэффициентов условий работы по материалу.

Для базовых расчетных сопротивлений, отвечающих нормальным температурно-влажностным условиям эксплуатации (при температуре T ≤ 35 °С и относительной влажности воздуха φ ≤ 75 %), необходимо вводить коэффициент условий работы m_дл, учитывающий влияние длительности нагружения с переходом от прочности древесины при кратковременных стандартных испытаниях к ее прочности в условиях длительно действующих постоянных и временных нагрузок за весь срок службы конструкций. Прочности R_пр при стандартных кратковременных испытаниях соответствует значение коэффициента m_дл = 1, при более короткой длительности нагружения m_дл > 1, а при более продолжительном действии нагрузки m_дл < 1.

3.4. Приведение нагрузки, действующей во времени по любому закону, к нагрузке постоянной во времени продолжительностью τ_пр позволяет при определении коэффициента m_дл для древесины использовать зависимость

m_дл = 1,03(1 - lg τ_пр/18,5).

Приведенное время действия расчетной нагрузки для наиболее типичных режимов нагружения и соответствующие им значения коэффициентов m_дл приведены в табл. 8.

Таблица 8

Значение коэффициента, учитывающего влияние длительности нагружения, m_дл = 0,66 принято за базисное, и по отношению к нему нормируются расчетные сопротивления для других режимов и сочетаний нагружения путем введения соответствующих переходных коэффициентов условий работы m_н = m_дл/0,66 к основным расчетным сопротивлениям древесины и фанеры. Расчетное время действия нагрузки τ_пр находится путем приведения таковой за весь принятый срок службы конструкций к ее максимуму в режиме постоянной нагрузки. Расчетное сопротивление

R = (R^н/γ_m)m_дл,                                                              (1)

где γ_m - коэффициент надежности по материалу, учитывающий отклонение в сторону меньших значений прочности материала с более высокой обеспеченностью по отношению к нормативному сопротивлению.

С учетом (1) получаем

R^н/γ_m = R/m_дл = ,                                                       (2)

где  - кратковременное расчетное сопротивление.

Из условий

R^н = R_вр(1 - η_нv),                                                          (3)

 = R_вр(1 - ηv)                                                             (4)

с учетом (2) находим

γ_m ≥ (1 - η_нv)/(1 - ηv),                                                  (5)

где R_вр  - среднее значение временного сопротивления при стандартных испытаниях материала;

η_н и η   - множители, зависящие от принятого уровня обеспеченности (доверительной вероятности) и вида функции плотности распределения соответственно для нормативного и расчетного сопротивлений;

v   - коэффициент вариации.

Для нормального распределения и обеспеченности по минимуму P = 0,95 η_н = 1,65 и при P = 0,99 η = 2,33. Коэффициент вариации прочности древесины v зависит от вида напряженного состояния и сорта материала; его величина колеблется в пределах 0,15 - 0,25.

3.5. Коэффициент надежности по материалу находится в прямой зависимости от принятых уровней обеспеченности для R^н и R и от изменчивости показателей прочности материала. Степень ответственности здания и сооружения в целом и в отдельных частях должна учитываться введением в формулу (1) коэффициента надежности по назначению γ_n.

Согласно постановлению Госстроя СССР от 19 марта 1981 г. № 41 «Правила учета степени ответственности зданий и сооружений при проектировании конструкций», предписывается учитывать степень ответственности зданий и сооружений с помощью коэффициента надежности по назначению γ_n на основании СТ СЭВ 384-76. «Строительные конструкции и основания. Основные положения по расчету». Значения коэффициента надежности по назначению принимаются в зависимости от класса ответственности зданий и сооружений. Правилами предусматриваются три класса ответственности I, II и III; им соответствуют значения γ_n, равные 1; 0,95 и 0,9, а для временных зданий и сооружений со сроком службы до 5 лет допускается принимать γ_n = 0,8. С учетом этого коэффициента выражение (1) принимает вид

R' = R^нm_дл/(γ_mγ_n).                                                         (6)

Расчетные сопротивления древесины и фанеры в табл. 3 и 10 СНиП II-25-80 для зданий и сооружений I, II и III классов ответственности необходимо делить соответственно на 1; 0,95 и 0,9.

3.6. Нормирование расчетных сопротивлений базируется на данных стандартных испытаний крупных образцов из пиломатериалов и круглого леса. Применявшийся ранее на основании результатов стандартных испытаний малых чистых образцов древесины и введения коэффициентов перехода от чистой к натуральной древесине с учетом сортности и размеров сечения лесоматериалов путь нормирования расчетных характеристик следует использовать при отсутствии оборудования для испытания крупных образцов. В этом случае для перехода от нормативного сопротивления чистой древесины R^н_ч к R^н используется условие

R^н = R^н_чK_пK_р,                                                            (7)

где

R^н_ч = R_вр.ч(1 - η_нv_ч);                                                      (8)

R_вр.ч - среднее значение временного сопротивления малых чистых образцов при стандартных испытаниях;

v_ч        - коэффициент вариации прочности чистой древесины;

K_п       - переходный коэффициент, учитывающий влияние пороков на прочность древесины;

K_р    - переходный коэффициент, учитывающий влияние размеров рабочего сечения на прочность древесины.

Тогда

γ_m ≥ (1 - η_нv_ч)/(1 - ηv_ч).                                                (9)

3.7. Влияние на прочность материала условий эксплуатации и особенностей работы, отличающихся от принятых для базовых расчетных сопротивлений, учитывается умножением последних на соответствующие коэффициенты условий работы по материалу, указанные в главе СНиП II-25-80. К ним относятся: коэффициенты m_в и m_т, отражающие влияние температурно-влажностных условий эксплуатации; коэффициенты m_д и m_н, отражающие влияние характера и режима нагружения; коэффициенты m_б и m_сл, отражающие влияние размеров сечения и его составных частей; коэффициенты m_гн и m₀, отражающие влияние начальных напряжений, концентрации напряжений; коэффициент m_a, учитывающий снижение прочности древесины при пропитке некоторыми защитными составами.

Совместное действие нескольких независимых условий работы оценивается перемножением соответствующих им коэффициентов. Для базовых расчетных сопротивлений m_в = m_т = 1.

3.8. Величины расчетных сопротивлений цельной древесины и однослойной клееной древесины из пиломатериалов определяются на основании данных испытаний в соответствии с указаниями СНиП II-25-80, прил. 2.

3.9. При нормировании расчетных сопротивлений многослойной клееной древесины из пиломатериалов надо иметь в виду ряд факторов, присущих композиции древесина - клей. Слоистая структура данной композиции способствует рассредоточению пороков, а, следовательно, повышению прочности вдоль волокон клееной древесины по сравнению с цельной при одинаковом качестве исходного материала. Однако из-за различия ориентации годичных колец, влажности соседних слоев и вследствие колебаний температурно-влажностного режима окружающего воздуха при эксплуатации происходят процессы перераспределения и выравнивания или циклических колебаний равновесной влажности. Они вызывают стесненные деформации усушки и разбухания и приводят к образованию собственных внутренних нормальных и касательных напряжений поперек волокон. Эти напряжения достигают наибольших значений в зоне, прилегающей к клееной прослойке, и усугубляются локальной концентрацией собственных и действующих от внешней нагрузки напряжений в местах с резко выраженной неоднородностью структуры композиции древесина - клей, из-за сучков, непроклея и других дефектов, добавочными напряжениями от усадки клеевой прослойки.

Влияние отмеченных факторов на прочность клееной древесины для разных видов ее напряженного состояния неодинаково. Наибольшую опасность они представляют для растяжения поперек волокон и для сложного напряженного состояния сдвига вдоль и поперек волокон с растяжением поперек волокон, угрожая расслоению такого рода композиции. Отмеченные как положительные, так и отрицательные стороны механических свойств клееной многослойной древесины требуют учета при нормировании расчетных сопротивлений. Для изгиба, растяжения и сжатия вдоль волокон определяющее значение имеют положительные факторы, повышающие прочность материала, а для растяжения поперек волокон и для скалывания при изгибе - отрицательные факторы, снижающие прочность материала.

Величины расчетных сопротивлений многослойной клееной древесины устанавливаются на основании данных испытаний:

на изгиб, сжатие, скалывание вдоль волокон клееных образцов из слоев толщиной 33 мм с общей высотой сечения 500 мм и для модельных образцов 165 мм при ширине сечения 140 мм;

на растяжение вдоль волокон клееных образцов из двух слоев толщиной по 19 и по 33 мм.

В дополнение к табл. 8 СНиП II-25-80 для слоев толщиной 16 и 12 мм коэффициент m_сл следует принимать соответственно 1,15 и 1,2. Если прочность клеевых соединений на зубчатый шип в слоях ниже временного сопротивления изгибу и растяжению вдоль волокон пиломатериалов 1-го сорта, то расчетное сопротивление клееной древесины нормируется по прочности клеевого соединения на зубчатый шип.

3.10. Условия (1), (3) и (5) по п. 3.4 для определения нормативного и расчетного сопротивлений справедливы при большом числе испытаний. В случае ограниченной выборки в эти условия необходимо вводить добавочный множитель к η_н и η, учитывающий надежность суждения и число испытаний в выборке (см. СНиП II-25-80, прил. 2, примеч. к табл., п. 2).

3.11. В изгибаемых и сжато-изгибаемых элементах из многослойной клееной древесины при формировании слоев по высоте сечения используются пиломатериалы разного сорта или разных пород. В этом случае требуется, чтобы переход от зоны одного сорта к зоне другого удовлетворял условию σ₁/σ₂ ≥ R₁/R₂ при R₁ > R₂,

где σ₁     - краевое напряжение;

σ₂    - промежуточное напряжение на границе слоев разного сорта;

R₁, R₂     - расчетные сопротивления древесины более высокого и более низкого сортов.

Для изгибаемых, сжатых и сжато-изгибаемых элементов из склеенных по длине на зубчатый шип сосновых и еловых однослойных заготовок пиломатериалов, удовлетворяющих в отношении древесины требованиям разд. 2, расчетные сопротивления следует принимать по СНиП II-25-80, табл. 3, п. 1а соответственно по 2-му и 3-му сортам.

Таблица 9

Таблица 10

Таблица 11

Однослойные клееные заготовки из пиломатериалов не ниже 2-го сорта допускается применять во второстепенных малонагруженных растянутых элементах с напряжениями, не превышающими 5 МПа.

3.12. Расчетные сопротивления водостойкой и бакелизированной листовой фанеры, древесных плит следует нормировать по данным испытаний стандартных образцов, используя условия (1), (6), (9) и принимая коэффициент m_дл для фанеры такой же, как и для древесины.

В таблицах 9 и 10 представлены необходимые данные по нормированию расчетных сопротивлений древесины сосны и ели, а также многослойной фанеры из березы и лиственницы, при этом принимается m_дл = 0,66.

Расчетные сопротивления березовой фанеры ФСФ растяжению вдоль волокон наружных слоев, стыкованной «на ус» клеями ФР-12 и ФРФ-50, при изгибе в плоскости листа (например, в стенках балок и рам двутаврового и коробчатого сечений) умножаются на коэффициент условий работы m_ф = 0,8, а модуль упругости E_ф повышается на 20 % по сравнению с его значением по табл. 11 СНиП II-25-80.

3.13. Расчетные сопротивления для фанерных труб следует принимать с учетом их диаметра и марки по табл. 11.

Особенности нормирования расчетных характеристик древесных плит

3.14. Прочностные и упругие характеристики древесных плит (ДВПс, ДСПк, ДСПф, ЦСП и МДП) должны определяться по действующим стандартам на методы испытаний плит.

3.15. Нормативные сопротивления древесных плит определяются с обеспеченностью 0,95 по формуле

R^н = R_вр(1 - 1,65v),

а расчетные сопротивления с обеспеченностью 0,99 по формуле

R = R^нK_рm_дл/γ_m,

где γ_m = (1 - 1,65v)/(1 - 2,33v), K_р = 0,8.

Значения R_вр, R^н и R представлены в табл. 12.

Таблица 12

3.16. Модули упругости древесных плит E (табл. 13) нормируются по средним величинам кратковременных испытаний с учетом влияния ползучести материала на основании условия

E = E_врK_рm_дл.E,

где E_вр    - кратковременный модуль упругости;

m_дл.E  - коэффициент, учитывающий приращение деформаций по времени при длительном нагружении.

Кратковременные и расчетные значения модуля сдвига G и коэффициента поперечной деформации μ указаны в табл. 14.

3.17. В зависимости от условий эксплуатации конструкций расчетные сопротивления древесных плит умножаются на коэффициенты условий работы материалов m_в, приведенные в табл. 15.

Таблица 13

Таблица 14

Таблица 15

3.18. Приведенные в табл. 12 - 15 значения расчетных сопротивлений, модулей упругости и коэффициентов условий работы для древесных плит, в особенности цементно-стружечных, являются предварительными, и подлежат уточнению.

4. РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ ДЕРЕВЯННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Упругие характеристики

4.1. В расчетах элементов на прочность по деформированной схеме и на устойчивость используются параметры жесткости EJ, GJ и безразмерный параметр в виде отношения кратковременного модуля упругости  к временному сопротивлению сжатию R_вр. Это отношение, как и в прежних нормах, принято за константу, независимо от породы леса, сорта и влажности материала, длительности действия нагрузки, температуры, размеров сечения элементов. Для древесины /R_вр = 300, для фанеры /R_вр.ф = 250.

Такой подход надо рассматривать как известное допущение. На самом деле названные факторы оказывают некоторое влияние, изменяя значения /R_вр преимущественно в большую сторону. Данный параметр используется при определении коэффициента продольного изгиба φ, коэффициента устойчивости плоской формы формирования при поперечном изгибе φ_м. В последнем случае учитывается сопротивление сжатию при изгибе, которое выше, чем при центральном сжатии, и для древесины /R_п.вр = 200 - 250, в нормах для поперечного изгиба принято - 200.

Расчетное критическое напряжение R_кр = φR_с отличается от временного критического напряжения R^вр_кр = φR_вр. В ряде случаев критические напряжения приходится выражать не в функции φ, а непосредственно через жесткость EJ.

Из равенств

R^вр_кр = φR_вр = π²J/[(μl)²F],

R_кр = φR_с = π²E'J/[(μl)²F]

находим соотношения

R^вр_кр/R_кр = R_вр/R_с = /E',

откуда для древесины E'/R_с = /R_вр = 300 и E' = 300R_с, соответственно для фанеры E'_ф = 250R_ф.с. Следовательно, надо различать нормируемые значения модулей упругости древесины и фанеры при расчете: по предельным состояниям первой группы E', G'; по предельным состояниям второй группы E, G.

В первом случае применяются вероятные минимальные значения модулей упругости с обеспеченностью не ниже 0,99; во втором случае - средние значения.

Величины модуля упругости зависят не только от скорости и длительности нагружения, температурно-влажностных условий эксплуатации, но также от породы и сорта лесоматериалов. При расчете по второй группе предельных состояний значение модуля упругости E в СНиП II-25-80 принято одинаковым независимо от породы и сорта древесины, однако в будущем необходима его дифференциация.

4.2. Упругопластическая работа древесины появляется в сжатых элементах и учитывается при их расчете на устойчивость. Расчет же растянутых, изгибаемых и сжато-изгибаемых элементов на прочность и на устойчивость плоской формы деформирования производится по упругой стадии работы, так как для клееной и тем более цельной древесины характерным является локальное хрупкое разрушение из-за наличия природных пороков и дефектов, вызывающих концентрацию напряжений.

4.3. Влияние начальных эксцентриситетов и погнутости элементов дополнительно не учитывается, так как децентровка, вызванная наличием в допустимых пределах кромочных сучков и косослоя, перекрывает такого рода отклонения от расчетной схемы и принимается во внимание при назначении расчетных сопротивлений древесины.

Учет переменности сечения

4.4. Типичными формами деревянных элементов переменного прямоугольного и двутаврового сечений являются центрально-сжатые, изгибаемые и сжато-изгибаемые дощатоклееные и клеефанерные стержни, у которых изменение высоты сечения подчиняется линейной зависимости от длины, а ширина прямоугольного сечения и площадь поясов двутаврового сечения остаются постоянными.

В расчетах таких элементов на устойчивость при центральном сжатии и при изгибе приходится использовать момент инерции эквивалентного стержня постоянного сечения, выраженный в виде произведения момента инерции в максимальном сечении соответственно на коэффициенты K_жN и K_жM в формулах (16) и (22) СНиП II-25-80, учитывающие переменность сечения. Величина коэффициента K_жN зависит от плоскости, в которой производится проверка устойчивости, и от условий закрепления стержня по концам, а коэффициента K_жM - от формы эпюры моментов по длине l_р.

При отсутствии промежуточных закреплений растянутой и сжатой кромок из плоскости изгиба расчетная длина l_р в формуле (23) СНиП II-25-80 равна всему пролету l закрепленного по концам элемента.

В случае закрепления только сжатой кромки в промежуточных точках числом m при равном шаге расчетная длина l_р = l/(m + 1). Форму эпюры моментов и переменность Сечения (коэффициент K_жM) в этом случае следует учитывать в пределах участка пролета l_р, принимая при m ≥ 4 коэффициент K_жM = 1. В случае закрепления только растянутой кромки в промежуточных точках числом m расчетная длина l_р = l; форма эпюры моментов и переменность сечения (коэффициент K_жM) при этом должны приниматься для всего пролета. Формулы для определения коэффициентов K_жN и K_жM получены путем аппроксимации точных решений.

4.5. Для сжато-изгибаемых элементов переменного сечения при их расчете по деформированной схеме в формуле (30) п. 4.17 СНиП II-25-80 φ умножаются на K_жN, а F_бр заменяется на F_макс; при проверке устойчивости плоской формы деформирования по формуле (33) п. 4.18 СНиП II-25-80 φ и φ_м умножаются соответственно на K_жN и K_жM. Коэффициенты K_жN и K_жM в качестве множителей к φ и φ_м, а не к моменту инерции J введены для удобства счета, не искажая конечных результатов, потому что

φ_макс = π²J_макс/(l²F_максR_вр) = 3000J_макс/(l²F_макс),

φ_расч = 3000J_максK_жN/(l²F_макс) = φ_максK_жN,

аналогичное преобразование можно осуществить для φ_м.

Отсюда следует, что максимальным значением φ и φ_м соответствуют и максимальные значения F_макс и W_макс в формулах (16), (22) и (33) СНиП II-25-80.

4.6. При определении опасного сечения в элементах, рассчитываемых на прочность, должны учитываться некоторые общие правила, касающиеся стержней и постоянного и переменного сечения.

Растянутые элементы постоянного сечения с несимметричным ослаблением следует центрировать по сечению нетто с его проверкой на центральное растяжение по F_нт с введением коэффициента условий работы m₀ = 0,8, учитывающим концентрацию напряжений, а сечение брутто должно быть проверено на внецентренное растяжение по формуле

N_р/F_бр + N_рeR_р/(W_брR_и) ≤ R_р,

где для прямоугольного сечения эксцентриситет e = h_вр/2;

N_р - растягивающее усилие;

h_вр     - глубина ослабления односторонней врезкой.

В изгибаемых и сжато-изгибаемых элементах переменной высоты опасное сечение, в котором возникают максимальные нормальные напряжения, не совпадает с положением максимального изгибающего момента. Оно определяется аналитически по экстремальному значению функции напряжений в крайнем волокне по длине стержня.

Когда в сжато-изгибаемом элементе максимальный момент из расчета по деформированной схеме и максимальный момент из расчета по недеформированной схеме не совпадают (рис. 1), необходима проверка напряжений в обоих сечениях.

В клееных элементах переменного сечения не следует допускать ослабления сечения по кромкам, а ограниченные местные ослабления от соединительных креплений при определении места опасного сечения могут не учитываться.

Компоновка и подбор сечения элементов

4.7. На рисунках 2 и 3 показаны примеры компоновки поперечного сечения элементов деревянных конструкций соответственно из цельной и клееной древесины. Многослойные дощатоклееные элементы, формируемые из горизонтальных слоев, предпочтительнее проектировать прямоугольного сечения. Такая форма отвечает требованиям технологичности, более высокой огнестойкости и меньшей опасности расслоения.

Рис. 1. Эпюры моментов сжато-изгибаемого элемента из расчета по деформированной и недеформированной схемам

Рис. 2. Примеры компоновки поперечного сечения элементов из цельной древесины

Рис. 3. Примеры компоновки поперечного сечения элементов из клееной древесины

Прямоугольное сечение может формироваться из слоев: одной породы и сорта, одной породы и разного сорта, разных породы и сорта. Если во всех названных сочетаниях средние значения плотности и модуля упругости используемой древесины оказываются близкими, то такое сечение в отношении расчета можно рассматривать как однородное. Если же названные условия не соблюдаются, необходимо в расчетах использовать приведенные значения геометрических характеристик. Приведение осуществляется по модулю упругости к тому из материалов, в котором проверяются напряжения. При компоновке поперечных сечений следует использовать:

в растянутых и сжатых (при гибкости λ < 60) клееных элементах пиломатериалы только одной породы и одного сорта;

в изгибаемых, сжато-изгибаемых и сжатых (при гибкости λ ≥ 60) клееных элементах пиломатериалы двух сортов, двух пород или разных сортов и пород; в этом случае в крайних зонах на 0,15h следует применять более высокопрочные пиломатериалы, а в средней зоне на 0,7h менее прочные пиломатериалы.

Как правило, формирование более высокопрочных слоев в крайних зонах принимается симметричным. Применять в многослойном прямоугольном сечении более двух разновидностей пиломатериалов не следует.

Для наиболее ответственных растянутых элементов сквозных конструкций из клееной и цельной древесины рекомендуется использовать пиломатериалы 1-го сорта, а для сжатых, изгибаемых и сжато-изгибаемых элементов конструкций массового применения - пиломатериалы 2-го и 3-го сортов. В малонапряженных и второстепенных элементах, кроме того, могут применяться пиломатериалы без сердцевины из мягких лиственных пород.

4.8. В растянутых элементах соотношение высоты прямоугольного сечения h и ширины b обусловлено конструктивными соображениями, сортаментом пиломатериалов и требованиями унификации. В сжатых элементах помимо этого приходится учитывать условия их закрепления в двух плоскостях. В изгибаемых и сжато-изгибаемых элементах, когда потеря устойчивости плоской формы изгиба исключается, наиболее экономичным из условий оптимизации является сечение минимально допустимой ширины.

При необходимости учета устойчивости плоской формы деформирования подлежат оптимизации безразмерные параметры b/h и l_р/h, где l_р - расчетная свободная длина элемента.

4.9. В элементах двутаврового и коробчатого сечений (см. рис. 2 и 3) в первом приближении целесообразно задаваться толщиной стенки δ, шириной поясов b_п и отношением высоты балки в осях поясов h₀ к пролету l, определяя необходимую площадь сечения поясов, а затем их высоту, задаваясь шириной.

4.10. В дощатоклееных элементах неоднородного прямоугольного сечения (рис. 4), когда его размеры постоянны, проверку напряжений следует производить, используя приведенные характеристики по формулам:

при расчете на устойчивость в случае центрального сжатия

N/(φ_пр1F_пр1) ≤ R_с1, где φ_пр1 = 3000/λ²_пр1 и λ_пр1 = l₀/r_пр1;

при расчете на прочность в случае изгиба

M/W_пр1 ≤ R_и1; Mh₀/(W_пр2h) ≤ R_и2; QS_пр2/(J_пр2b) ≤ R_ск2;

Рис. 4. Эпюры нормальных и касательных напряжений неоднородного прямоугольного сечения

при расчете на устойчивость плоской формы деформирования в случае изгиба

M/(φ_Mпр1W_пр1) ≤ R_и1,

где

φ_Mпр1 = φ_мh²[h₀ + E'₁(h - h₀)/E'₂]/[h₀³ + E'₁(h³ - h₀³)/E'₂];

а φ_м и K_пм определяются по п. 4.14 СНиП II-25-80.

Расчет сжато-изгибаемых деревянных элементов на прочность по деформированной схеме

4.11. При расчете сжато-изгибаемых элементов на прочность по краевым напряжениям учитывается добавочный момент в деформируемом стержне от продольной сжимающей силы N_с в упругой постановке решения данной задачи. Расчетный деформационный изгибающий момент M_д при этих условиях равен сумме моментов от поперечной нагрузки и продольной силы M_д = M + N_сf_д, где f_д - полный прогиб от действия M и N_с.

В случае симметричного изгиба шарнирно закрепленного по концам стержня, нагруженного синусоидальной или распределенной (с допустимой погрешностью) поперечной нагрузкой, справедлива известная зависимость f_д = f/(1 - N_с/N_э), f = M/N_э, откуда f_д = M/(N_э - N_с), соответственно

M_д = M + N_сM/(N_э - N_с) = M[1 - N_с/(N_э - N_с)] = M/(1 - N_с/N_э) = M/ξ,

где N_э - критическая сжимающая сила по Эйлеру и

ξ = 1 - N_э/N_э = 1 - N_с/(φ₀R_сF_бр).

Соответственно в формуле (30) СНиП II-25-80 для любой гибкости φ определяется по формуле (8) СНиП II-25-80 φ = 3000/λ² и может быть больше единицы. После подстановки выражения для φ в (30) получим ξ = 1 - λ²N/(3000R_сF_бр).

Для шарнирно закрепленного по концам сжато-изгибаемого стержня постоянного сечения при симметричной нагрузке из общего решения дифференциального уравнения изогнутой оси в тригонометрических рядах имеем

M_д = ,                                  (10)

где M_i - коэффициенты в формуле разложения эпюры моментов M от поперечной нагрузки

                                                (11)

Если учесть, что

1 + N_с/(N_эi² - N_с) = 1/(1 - N_с/N_эi²) и N_с/N_э = 1 - ξ, то

M_д =                                    (12)

Представим

M_д = β_нM/ξ,

где

β_н = (ξ/M)                             (13)

Из анализа знаменателей членов данного ряда следует, что для

i = 1            1 - (1 - ξ)/i² = ξ,                         а для i ≥ 3      1 - (1 - ξ)/i² ≈ 1,

где из (13) получаем

β_н = (M₁/M) + ξ                                     (14)

Обозначим

M₁/M = m, а так как ,

то

(1/M) = 1 - m,

откуда с учетом (14) получаем

β_н = m + ξ(1 - m).                                                         (15)

Таблица 16

Для определения величины деформационного момента M_д вместо формулы M_д = β_нM/ξ, в которой коэффициент, учитывающий схему поперечной нагрузки, введен в числитель, в нормах соответствующий коэффициент перенесен в знаменатель и принята формула

M_д = M/(K_нξ),                                                               (16)

где коэффициент K_н = α_нξ(1 - α_н) вводится прямым образом к ξ, что логичнее.

Выражение для K_н по структуре аналогично выражению для β_н. Значения самих коэффициентов m и α (табл. 16), β_н и K_н связаны между собой α_н ≈ 1/m; K_н ≈ 1/β_н. Коэффициенты α_н и K_н находятся из приближенной зависимости с погрешностью, не превышающей 3 % для α_н и 1,5 % - для К_н.

4.12. При разложении несимметричной нагрузки на симметричную C и кососимметричную K составляющие, соответствующие им формы деформирования, выражаются в виде одной и двух полуволн с гибкостями λ_с = l/r, λ_к = l/(2r) и одинаковой сжимающей силой N_с для определения коэффициентов ξ_с и ξ_к.

Здесь l   - длина всего стержня, шарнирно закрепленного по концам;

r    - радиус инерции поперечного сечения в плоскости деформирования.

Рис. 5. Пример разложения несимметричной схемы нагружения на симметричную и кососимметричную

Рис. 6. Расчленение разнозначной эпюры моментов

Если коэффициенты α_нс ≠ 1 и α_нк ≠ 1, то формула (32) СНиП II-25-80 принимает следующий вид

M_д = M_с/(K_нсξ_с) + M_к/(K_нкξ_к).                                      (17)

Когда в пределах каждой половины кососимметричного нагружения сохраняется асимметрия, производить дальнейшее разбиение на C и K не следует, так как возникающая при этом погрешность незначительна.

Пример разложения несимметричной схемы нагружения на C и K показан на рис. 5, значения коэффициентов α_нс и α_нк приняты по табл. 16. При разнозначной эпюре моментов она расчленяется на плюсовую и минусовую, а затем, если одна из них или обе несимметричные, производится их разделение на C и K (рис. 6.)

4.13. Для решения задачи в случае постоянной сжимающей силы по длине стержня, шарнирно закрепленного по концам, применим принцип суперпозиции. Значение момента M для расчетного сечения в пролете при этом условии выражается в виде алгебраической суммы его составляющих

M_д = .                                                 (18)

Сжимающая осевая сила N при шарнирном закреплении стержня по концам не влияет на величины опорных моментов и они не будут изменяться.

Для расчетной схемы по рис. 6 момент в пролете

M_д = -M₁/(K_н1ξ_с) + M₂(l/2 - x)/(K_н2ξ_кl/2) + M_x/(K_изξ_с),

где

M₁ = (M_А + M_В)/2, M_А > M_В; M₂ = (M_А - M_В)/2;

M_x = qx(l - x)/2;

используя формулу (31) СНиП II-25-80 и коэффициенты из табл. 16, находим

K_н1 = 0,81 + 0,19ξ_с; K_н2 = 1,62 - 0,62ξ_к; K_из ≈ 1;

ξ_с = 1 - λ²_сN/(3000R_сF); ξ_к = 1 - λ²_кN/(3000R_сF);

λ_с = l/r = 2λ_к.

4.14. При расчете сжато-изгибаемых стержней, заделанных одним или обоими концами, необходимо учитывать упругость их защемления. Это объясняется невозможностью обеспечить для деревянных элементов жесткое защемление из-за возникающих напряжений смятия поперек волокон и соответствующих им больших деформаций, а также других причин, приводящих к повороту торцового сечения. Данное обстоятельство учитывается при расчете на устойчивость центрально сжатых элементов путем увеличения значений коэффициента μ₀ (см. п. 4.21 СНиП II-25-80).

Опорные моменты в стержне i - j с упругим защемлением обоих концов равны

M_i = m_i(βM⁰_j + K_jM⁰_i)/[2(K_iK_j - β²)];                                         (19)

M_j = m_j(βM⁰_i - K_iM⁰_j)/[2(K_iK_j - β²)].

Опорный момент в стержне i – j с упругим защемлением одного i-го конца следует определять по формуле:

                   (20)

В формулах (19) и (20) приняты следующие обозначения:

M⁰ - опорный момент при жестком защемлении определяется: при действии поперечной нагрузки и продольной силы по табл. 17.5; при перемещении опор и действии продольной силы - по табл. 17.6.

(«Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический», кн. 2, М., 1973 г.);

m_i(j) = μ_i(j)l/(EJ) - безразмерный параметр упругого защемления (μ - коэффициент жесткости опоры, имеющий размерность момента);

K_i(j) = 0,5m_i(j) + α,

где α, β,  - функции аргумента , где N - продольная сила («Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический», М., 1960, табл. 16.30).

Значения параметра упругого защемления m принимаются по экспериментальным данным. При отсутствии таких данных допускается принимать m_i(j) = 5,4 для стержня на двух опорах и m_i(j) = 9,9 для стержня с одним свободным концом, что соответствует указанному выше увеличению коэффициента μ₀.

4.15. Расчет сквозных конструкций с неразрезными сжато-изгибаемыми поясами следует производить по деформированной схеме, как правило, на ЭВМ по стандартным программам.

Допускается приближенно определять деформационные узловые изгибающие моменты в поясах, используя значения осевых усилий и перемещений узлов из расчета конструкции по недеформированной схеме как шарнирно-стержневой статически определимой системы. Пояс рассматривается далее как неразрезная балка, испытывающая воздействие осевых сил, поперечной нагрузки и осадки опор (перемещений соответствующих узлов конструкций). Расчет пояса следует вести в соответствии с п. 17.3.4 («Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический», кн. 2, М., 1973). При расчете методом перемещений (уравнение трех углов поворота) для определения части грузовой реакции (опорного момента защемления) r_kо, вызванной осадкой опор, следует пользоваться данными табл. 17.7 того же справочника.

Помимо указанных в пункте 17.3.4 методов расчета при числе неизвестных более двух возможно также применение метода последовательных приближений [способ распределения моментов, см. п. 5.8.1 («Справочник проектировщика Расчетно-теоретический», М., 1960 г.)]. При расчете по деформированном схеме, в отличие от обычного расчета, коэффициенты распределения неуравновешенного момента в i-м узле равны

K_i,i-1 = -r_i,i-1/(r_i,i-1 + r_i,i+1);

K_i,i+1 = -r_i,i+1/(r_i,i-1 + r_i,i+1),

а коэффициент передачи (переноса) равен

μ = β/α,

где r  - единичные реакции (моменты защемления от единичного поворота узла), значения которых:

В приведенных формулах α, β,  - функции Н.В. Корноухова (см. «Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический». М., 1980, табл. 16.30).

Наибольшее значение деформационного изгибающего момента в стержне i - j длиной l определяется исходя из известных величии концевых (опорных) деформационных моментов M^д_i и M^д_j, поперечной нагрузки и постоянного осевого усилия N по методике, приведенной ниже.

Положительным считается момент, растягивающий нижнее волокно. Деформационный изгибающий момент в точке с координатой (расстоянием от i-го конца стержня) x определяется по формуле

M^д_x = Asin (vx/l) + Bcos (vx/l) + C,                              (21)

где

A = A_о + ΣA_п;

B = B_о + ΣB_п;

C = ΣC_п;

(индекс «о» относится к членам, определяемым величиной опорных деформационных моментов; индекс «п» - видом и величиной поперечной нагрузки).

Значения коэффициентов A_п, B_п и C_п вычисляются, используя табл. 17. Коэффициенты A_о и B_о равны

A_о = (M^д_i - M^д_j cos v)/sin v;

B_о = M^д_i,

где

.

Величины A, B, C необходимо вычислить отдельно для каждого участка по длине стержня с границами в точках приложения сосредоточенных сил. При этом независимо от рассматриваемого участка всегда учитывается вся поперечная нагрузка, действующая на стержень.

Таблица 17

4.16. Координаты сечений с экстремальными значениями изгибающих моментов определяются по формулам

x^э₁ = 0

x^э_к = lψ_к/v, (K = 2, 3, …),                                             (22)

где

ψ_к = arcsin (A/M) + (K - 2)π;

M = S(B);

Рис. 7. Схема загружения стержня

Отбор пригодных значений x^э производится из условия 0 ≤ x^э_к ≤ l. При x^э_к < 0 принимается x^э_к = 0, при x^э_к > l принимается x^э_к = l. После каждого вычисления x^э необходимо дополнительно проверять принадлежность точки тому участку, для которого определены параметры A, B и C. Если это не выполняется, то следует вновь вычислить указанные параметры, исходя из принадлежности точки следующему участку, и заново определить x^э.

Если при этом окажется, что x^э принадлежит не данному, а предыдущему участку, то принимается

x^э_к = x_гр,

где x_гр - координата границы между рассмотренными участками.

Экстремальные значения деформационных моментов M^э_к определяются из (21) при x = x^э по (22).

Наибольший по абсолютной величине деформационный изгибающий момент в пределах пролета i - j определяется сравнением его экстремальных значений.

Пример. Определить наибольший деформационный изгибающий момент в стержне 1-2 по рис. 7. Стержень имеет постоянное сечение с изгибной жесткостью EJ = 1600 кН×м².

Стержень разбит по длине на три участка с границами в точках приложения сосредоточенных сил. Коэффициенты A, B, и C уравнения моментов будем определять отдельно для каждого участка.

Вычислим параметр сжимающей нагрузки v и другие величины, необходимые для расчета

 =  = 1,5; v² = 2,25; sin v = 1; cos v = 0,0707; tg v = 14,1.

Относительная координата точки приложения первой сосредоточенной силы K₁ = x_гр1/l = 1/3, второй силы K₂ = x_гр2/l = 2/3. Соответственно

sin [(1 - K₁)v] = 0,841; sin (K₁v) = 0,479;

sin [(1 - K₂)v] = 0,479; sin (K₂v) = 0,841,

cos θ = 1.

Вычислим коэффициенты уравнения моментов

A_о = (M^д₁ + M^д₂cos v)/sin v = (-9 + 7×0,0707)/1 = -8,5 кН×м;

B_о = M^д₁ = -9 кН×м.

Вторые слагаемые коэффициентов A, B, C, зависящие от вида и величины поперечной нагрузки, будем вычислять отдельно для каждого участка.

Участок 1.

ΣA_п = ql²cos² θ(1 - cos v)/(v²sin v) + P₁lcos θsin [(1 - K₁)v]/(v sin v) +P₂cos θsin [(1 - K₂)v]/(vsin v) = 13×3²×1²(1 - 0,0707)/(2,25×1) + 5×3×1×0,841/(1,5×1) + 5×3×1×0,479/(1,5×1) = 61,52 кН×м;

ΣB_п = ql²cos² θ/v²